Gilbert Strang의 18.065강의 Lecture 3: Orthonormal Columns in Q Give Q’Q = I를 정리한 내용이다. Lecture 3에서는 Orthogonal matrices and subspaces에 대해 다룬다.

Lecture 3에서는 다음의 주제들을 다룬다.

• Orthonormal columns
• Rotations
• Reflections
• Hadmard matrices
• Haar wavelets
• Discrete Fourier Transform (DFT)
• Complex inner product

Orthonormal columns

Matrix Q with orthonormal columns 이라면 $Q^TQ=I$이 성립한다. .

$\begin{bmatrix}q_1^T\\.\\.\\.\\q_n^T \end{bmatrix}\begin{bmatrix}q_1&.&.&.&q_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&.&0\\0&1&.&0\\.\\.\\0&0&.&1\end{bmatrix}$

If this Q multiplies any vector x, the length of the vector does not change. 즉 이것은 아래의 식으로 전개할 수 있다.

Any x, $\mid\mid Qx \mid\mid = \mid\mid x \mid\mid$.

Then $\mid\mid Qx \mid\mid^2 = \mid\mid x \mid\mid ^2$ = $(Qx)^T(Qx)=x^TQ^TQx=x^Tx$

만약 $Q$가 square가 아니고, m>n이라 가정하면, m개의 row는 $\R^n$에서 orthogonal하지 않다. 즉 $QQ^T=I$가 성립하지 않는다.

즉 Orthogonormal column으로 이루어진 Orthogonal matrix는 square이고, $Q^T=Q^{-1}$이 성립한다.

Rotations